Perte de charge d'un écoulement uniforme

Analyse dimensionnelle

On détermine la perte de charge à partir de l'analyse dimensionnelle, en supposant que la relation est un produit de puissance :

$$\frac{\Delta p}{\Delta l} = \xi \cdot R_h^{\,a} \cdot U^{\,b} \cdot \rho^{\,c}$$

où $\xi$ est une constante adimensionnelle. La relation dimensionnelle s'écrit :

$$ML^{-2}T^{-2} = (L)^a\,(LT^{-1})^b\,(ML^{-3})^c$$

ce qui donne :

$$\frac{\Delta p}{\Delta l} = \xi \cdot \frac{\rho\,U^2}{R_h}$$

En régime uniforme, $J = i$, et :

$$J = i = \left(\frac{\Delta p}{\Delta l}\right)\cdot\frac{1}{\rho g} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,J = i = \frac{\xi}{g}\cdot\frac{U^2}{R_h}\,}$$

Formule de Chézy

Cette expression, développée par l'ingénieur français Antoine Chézy en 1769 (Chow, 1959), fait le lien entre l'hydrodynamique — à travers la vitesse moyenne $U$ de l'écoulement — et les caractéristiques géométriques du canal : son rayon hydraulique $R_h$ et sa pente $i$. Elle provient directement de l'analyse dimensionnelle précédente :

$$i = J = \frac{\xi}{g}\left(\frac{U^2}{R_h}\right) = C^{-2}\left(\frac{U^2}{R_h}\right) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,U = C\sqrt{R_h\, i}\,}$$

$C$ est un coefficient, appelé coefficient de Chézy, devant être déterminé par l'expérience. Plusieurs auteurs ont proposé des quantifications de $C$, parmi lesquels Kutter, Bazin, Manning-Strickler, etc. (Chow, 1959).

Formules de Bazin et de Kutter

$$C_{\text{Bazin}} = \frac{87\sqrt{R_h}}{K_B + \sqrt{R_h}}, \qquad C_{\text{Kutter}} = \frac{100\sqrt{R_h}}{K_K + \sqrt{R_h}}$$

Ces relations ne sont valables qu'en régime turbulent rugueux. $K_B$ et $K_K$ dépendent de la rugosité des parois et sont donnés par les tableaux suivants.

Coefficient $K_B$ (Bazin)

N°	Caractéristiques	$K_B\ (\mathrm{m^{1/2}})$
1	Canaux en béton bien lissé ; canaux en bois raboté, avec la plus grande dimension des planches selon la direction du courant ; parois métalliques sans rouille et décrochements dans les joints (plan du canal en tronçons longs raccordés par des courbes à grand rayon ; eau claire)	0,06
2	Canaux en béton, revêtus mais non complètement lissés, avec des décrochements peu importants dans les joints ; canaux en bois raboté aux joints réguliers sans décrochements ; canaux en maçonnerie régulière de pierre de taille	0,16
3	Canaux en béton, partiellement revêtus, avec des joints saillants, eau peu claire, végétation et mousse ; canaux revêtus en pierres sèches	0,46
4	Canaux en terre de section régulière, végétation peu haute sur le fond, sans végétation, courbes amples ; canaux en maçonnerie régulière, fond lisse par dépôt de vase	0,85
5	Canaux en terre de section régulière, végétation peu haute sur le fond, végétation courte sur les berges ; cours d'eau naturels réguliers, sans végétation ni grands dépôts	1,30
6	Canaux en terre mal entretenus, végétation sur le fond et les berges ; canaux en terre exécutés par excavateurs mécaniques, mal entretenus	1,75

Coefficient $K_K$ (Kutter)

N°	Caractéristiques	$K_K\ (\mathrm{m^{1/2}})$
1	Parois en béton bien lissé, section demi-circulaire	0,12
2	Idem, section rectangulaire	0,15
3	Parois en bois raboté, section rectangulaire	0,20
4	Parois en bois non raboté, section trapézoïdale ou rectangulaire ; maçonnerie très régulière avec pierres de taille	0,25
5	Parois en maçonnerie ordinaire, construction soignée	0,35
6	Parois en maçonnerie ayant déjà subi des réparations	0,45
7	Parois revêtues en pierres ordinaires	0,55
8	Parois en maçonnerie, fond vaseux	0,75
9	Parois en maçonnerie, à l'abandon	1,00
10	Petits canaux creusés dans le rocher ; canaux en terre bien réguliers, sans végétation	1,25 à 1,50
11	Canaux en terre, mal entretenus avec de la végétation ; cours d'eau naturels avec lit en terre	1,75 à 2,00
12	Canaux en terre complètement à l'abandon ; cours d'eau naturels avec lit en galets	2,50